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Un problema matemático

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Un problema matemático

Mensaje por Tanausú el Mar Sep 23, 2014 12:39 am

Tengo un sobrino que aún no terminó la universidad y va a ser un gran matemático, al menos eso le digo yo a menudo por su habilidad con los números y el otro día que nos visitaba tuvimos una charla que más o menos reproduzco a continuación:

-. Hola sobrino ¿que tal van los estudios?

-. Muy bien tío, esta semana me acorde de ti porque tuvimos un problema difícil de estadística y probabilidades pero ya lo tengo resuelto, en realidad sabía la solución desde el principio pero me hice el despistado para no caer mal a la clase, ya sabes tito, tengo que cuidar mi reputación y no sobresalir mucho.

-. Bueno Abel, ya sabes que yo no dejo de investigar como poder ganar con la ruleta usando todas las herramientas posibles, he avanzado mucho pero el toque mágico, la clave final que ponga a la máquina a mis pies se resiste, si tu pudieras echarme una mano...

-. Jaja tío, estas obsesionado con la ruleta y quizá sea eso lo que te impide llegar a una solución.

-. Más bien estoy obsesionado con la relación que guarda el corto con el largo plazo, la concentración y la dispersión y cómo se pudiera dar esquinazo a los efectos de la curva de Gauss.

-. Eso tito no es mucho problema si...tu fueras la banca.

-. Ya sé, ya sé que un truco conocido es ser la banca pero no todo el mundo puede ser la banca, la mayoría tenemos que conformarnos con ser sus clientes.

-. Bueno tito, voy a pensar en algo y la próxima vez que nos reunamos te cuento...espero darte alguna solución para que las probabilidades estén a tu favor con una sencilla fórmula y sin que tengas que arriesgar tu dinero.

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Re: Un problema matemático

Mensaje por Tanausú el Mar Sep 23, 2014 11:36 pm

Whtasapp con mi sobrino:

Hola Abel, estoy pensando estos días sobre lo que me prometiste (carita de Munch)


    Jeje, tito sabia que no podías esperar al fin de semana con mi visita (carita alegre, tren, rayo, ZZZ)


Bah! Solo es curiosidad jeje


    Bueno, en principio ya tengo una idea aunque puede que te parezca disparatada pero es una respuesta práctica al problema que resolví en la uni esta semana.


Dime dime, canta (carita, $, €, £)


    Solo que el ejemplo práctico a este problema matemático no va a ser con la ruleta (carita triste, carita guiño, bombilla encendida)


¿Que? (Munch)


    De momento tu céntrate en lo que te voy a adelantar:Será un ejercicio duro sobre probabilidades.No usaremos la ruleta.Plantearé un problema matemático -pero conociéndote tu dirías que es un sistema para ganar dinero (carita de risa)- Ese problema tendrá una resolución en forma de sistema con una lotería nacional que puede permitir ganar dinero sin arriesgar un euro Aquí lo interesante es el planteamiento y el final muy sorprendente.


¿Y.. ?(Carita roja)


    Hasta el fin de semana tito. (Carita varias y risas)


Álvaro.

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Re: Un problema matemático

Mensaje por Arbo el Miér Sep 24, 2014 1:12 am

A ver con que te sale el sobrino...

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Re: Un problema matemático

Mensaje por Tanausú el Miér Sep 24, 2014 9:09 am

@Arbo escribió:A ver con que te sale el sobrino...

Sí sí, yo estoy entre ascuas Rolling Eyes

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Re: Un problema matemático

Mensaje por Tanausú el Sáb Sep 27, 2014 10:07 pm

Hola tío Álvaro, te adelanto algo sobre lo que hablamos:

Referente a los juegos he investigado algo y lo que a mi me interesa de ellos siempre tiene que ver con las mates, no puedo verlo de otra forma y debería ser así para todos pues es la forma de saber cuales juegos son inviables para alguien que abriga la idea de obtener algún beneficio.

Si tuviera que puntuar a los juegos conocidos desde el punto de vista del valor esperado para un jugador, sin duda la ruleta estaría la segunda mejor valorada y el Black Jack el primero, y en cuanto a todo tipo de loterías nacionales estarían en los últimos lugares y al otro lado de la frontera del sentido comun.

Después de un análisis matemático,  las loterías salen mal paradas y son usura pura y dura añadiendo que las probabilidades de acertar el premio gordo están por debajo de la probabilidad que te parta un rayo -y esto es literal-.

No solamente es importante ver un valor esperado justo para el jugador, también es trascendente saber a cuanto asciende el universo del juego, por ejemplo, muchas loterías tienen un universo para el premio mayor de 14 millones de eventos, si por ejemplo tu pones a un pleno cada día de tu vida -es decir, compras un boleto diario- tardarías 38.000 años en completar la cobertura de ese universo.

Y si tomas tu jugada como una suerte sencilla, necesitas 19.000 años para saber si vas a acertar con una probabilidad del 50%.

Si eres positivo y crees que tendrás un acierto temprano, muy muy temprano, podría significar que acertarás dentro de 150 años -ya no estas vivo- eso, muy muy muy temprano, y es comparable a un jugador de ruleta que acertara un pleno a la primera en una ruleta de 4.000 números.

No obstante ésto, mantengo mi promesa de analizar un juego basado en una lotería, que solo tenga ganancias de algún tipo, y que no haya que arriesgar dinero.

mañana nos vemos.

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Re: Un problema matemático

Mensaje por Tanausú el Sáb Sep 27, 2014 11:03 pm

Ahora tito te pregunto: ¿Como andamos en cuanto a considerar análisis de aleatoriedad?

Analiza:

"María tiene 31 años, soltera, de opiniones claras y honestas, brillante. En la universidad acabó la carrera de filosofía. Cuando era estudiante se preocupaba mucho por la discriminación de género, la justicia social, participó en demostraciones pacifistas y ecologistas.

Escenario 1. Ahora te presento tres afirmaciones, muy simples, de su situación actual:



    María es funcionaria.María es activista feminista y funcionaria.María es activista feminista.


Ordena los tres escenarios poniendo en primer lugar la afirmación más probable y en el último lugar la menos probable. Deja de leer y ordénalos. Continúa luego.

Escenario 2. Ahora otras tres afirmaciones:



    María se operó para cambiarse de sexo, se llama Juan, y es dueño de una cadena de panaderías.María es dueña de una cadena de panaderías.María se operó para cambiarse de sexo, ahora se llama Juan.



Vuelve a ordenar estas tres afirmaciones poniendo en primer lugar las más probables, cuando acabes continúa leyendo.


Seguramente el orden que elegiste para el Escenario 1 fue:



    1. María es activista feminista.2. María es activista feminista y funcionaria.3. María es funcionaria.


Esto es de un estudio realizado por Daniel Kaheneman y Amos Tversky en 1982 y 1983. El 87% de los elegidos (estudiantes y graduados universitarios) eligieron este orden. ¿Has elegido este orden? Felicitaciones...has sido engañado.

Si no te das cuenta, revisa cómo has ordenado el Escenario 2. Seguramente has dado el orden correcto:



    María es dueña de una cadena de panaderías.María se operó para cambiarse de sexo, ahora se llama Juan.María se operó para cambiarse de sexo, se llama Juan, y es dueño de una cadena de panaderías.


¿Te has dado cuenta del error? Es cuestión de probabilidades.

En ambas listas tenemos el mismo patrón, escenario A, escenario B y escenario A y B. La probabilidad de que ocurran A y B es menor a que ocurra A ó B.

Seguramente lo has hecho bien en el segundo ejemplo, sin embargo has fallado en el primero, cuyo orden de probabilidad tendría que ser:



    1. María es activista feminista (A).2. María es funcionaria (B).3. María es activista feminista (A) y funcionaria (B).


¿Por qué ocurre esto? Porque los humanos somos muy malos analizando la aleatoriedad de nuestro entorno, aunque conozcamos de probabilidades y se nos presente un caso sencillo somos incapaces de juzgarlo lógicamente.

En el primer escenario tenemos detalles personales que conocemos de la persona (feminista), en el segundo caso agregamos datos que desconocemos (cambio de sexo y dueña de una cadena). En el último somos más capaces de analizar más objetivamente, pero no así en el primero.

Cuando los detalles que tenemos se ajustan más a la imagen mental que tenemos lo consideramos más real y más probable, aún en casos donde agregando más detalles a la conjetura hace a ésta menos probable. A esto le llamaron la falacia de la conjunción.

Esto ocurre porque estamos más predispuestos a aceptar escenarios menos probables si es que nos los narran, por eso también ocurre el equivalente, la falacia narrativa, tan habitual en libros de autoayuda y conspiranoias."









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Re: Un problema matemático

Mensaje por Tanausú el Mar Sep 30, 2014 6:48 am

Estimado tío Álvaro, aunque tengo poco tiempo lo prometido es deuda y según me dices -me has pedido permiso (también tienes mi permiso pata editarme pues lo mio no son las letras)- subes mis escritos a dos foros sobre juego, estadística y estudios del azar muy prestigiosos, por lo que aprovecho para exponer algunas ideas sobre esos temas. (Carita de duda)

En nuestros estudios sobre matemáticas también suelen entrar a veces los juegos de azar, aunque no tan pormenorizado como lo hacéis en esos foros por lo que me cuentas, y se llega a la conclusión siempre que cualquier juego existente no pasa un examen matemático mínimo, es decir, la existencia de una banca - por otra parte explicable- hace que ese juego sea desfavorable por la imposición de un valor esperado negativo para los posibles jugadores.

No obstante todo lo anterior, personalmente me gustan los retos y a veces intento buscar los tres pies al gato en cuanto a muchos problemas que la matemática deja encorsetados con una explicación según parámetros fijos.

Es por eso que pensé que a cualquier juego que tenga un valor esperado negativo para el jugador de a pie se le puede buscar alguna artimaña también de índole matemática que resulte en una estrategia que beneficie de alguna forma a ese jugador.

Como veras más adelante y también sabrás, algunos juegos de casino tienen un escaso margen de ganancias para la banca lo que los hace muy interesantes en cuanto a buscar estrategias para eludir esos márgenes, pero en mi caso me gusta lo más difícil y consideraré un ejemplo de un juego de lotería que por su escaso valor esperado para el jugador hace más interesante el reto. (Carita carcajada)

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Re: Un problema matemático

Mensaje por Tanausú el Mar Sep 30, 2014 8:31 pm

Despues de manejar muchos datos sobre loterías nacionales -en España- no puedo menos que decir con las mates que manejamos en la universidad en las manos, no cuadran las cuentas...al jugador, a la banca no sólo le cuadran, le salen redondas, así que vamos a enfrentar un problema matemático con unas metas definidas -que enumero a continuación- que nos pueda llevar a un resultado positivo.

Tengo que decirte tío Álvaro que lo que voy a desarrollar no es un sistema aunque lo parezca, es decir, no animo a que se haga sino que el fin es poder testimoniar que pensando un poco y manejando números, usando si es posible el pensamiento lateral, se puede llegar a resultados que a primera vista parecen imposibles.

Requisitos que se tienen que rellenar para alcanzar el objetivo buscado; participar en un juego sin arriesgar nuestro dinero y tener alguna expectativa de ganar algo y que nadie más salga perjudicado incluyendo a la banca.

Requisitos:

1-En principio tendríamos que ser la banca pero como eso no puede ser, lo mínimo seria ser adjuntos de la banca.

2 -Es necesario hacer algunos boletos con cuatro número -no más de 15 papeletas y venderlas.

3 -El juego se hará en combinación con una lotería nacional con un universo no superior a 100.000 eventos.

4 -los compradores de las papeletas tienen que tener un premio superior acertando los cuatro numeros -es decir, un universo de 10.000- que si ellos mismos jugarán directamente a esa lotería, lo justo es que tuvieran un valor esperado parecido a la ruleta.

Por ejemplo, el premio de una conocida lotería por acertar los cuatro últimos es de 200 euros invirtiendo 1.5€ y el premio que se aconseja a un comprador de la papeleta de nuestro experimento virtual seria 900 euros invirtiendo un euro por su papeleta.

Dime si tienes alguna duda sobre mi planteamiento y te contesto.

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Re: Un problema matemático

Mensaje por Tanausú el Mar Sep 30, 2014 9:22 pm

Estimado Abel, muy buena exposición con detalles interesantes pero...

Sí, tengo un pero, no veo muy claro como se pueden cumplir esos requisitos del experimento matemático sin que el adjunto a la banca -quien tiene que vender las 15 papeletas de cuatro numeros- salga gravemente perjudicado.

Comienzo a hacer mis cuentas y no veo de donde saldrá el dinero pagadero al ganador teniendo en cuenta que sólo se venden 15 papeletas y si el banquero adjunto comprara tantas loterías como papeletas vende tampoco tiene solución el problema, es más, le costaría el dinero ya que el banquero compra a 1.5 € y vende a 1 €.

En fin, tengo más dudas pero espero tu contestación o tu visita.

(Carita munch)

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Re: Un problema matemático

Mensaje por Tanausú el Mar Sep 30, 2014 11:26 pm

Bien tito, comprendo tus dudas.

Aclaro que un poseedor de una papeleta con cuatro numeros -cuya probabilidad de acierto es una entre diez mil- obtenga un premio de 900€ -de la lotería obtendría 200- sigue siendo para él un juego muy desfavorable y lo que quiero es que se le pague esos 900€ pero que su probabilidad suba a uno entre 1.000 y lógicamente esto empeorará más tus dudas pero dije al principio que el valor esperado para tu comprador tenía que ser más justo.

En cuanto a vender solo 15 papeletas de un euro no hay problema, será suficiente para costear tu compra de boletos y aún te sobrará 1.5 € para un café (carita risueña)

Nos veremos pronto.

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Re: Un problema matemático

Mensaje por Tanausú el Miér Oct 01, 2014 12:47 am

Pues si Abel, eso empeora mis dudas pero te voy a poner un ejemplo de como yo lo veo para que comprendas que hay un error en alguna parte de de tus matemáticas o escondes un as en la manga.

Por ejemplo escojo quince números de la lotería al azar y de esos números se confeccionarán las quince papeletas.

43655
27895
19321
04567
98568
39043
78051
53148
21998
99059
33445
61834
80511
65001
55675

De esos números se imprimen quince papeletas con sólo los cuatro últimos.

Si no sale ninguno de los quince el banquero adjunto o vendedor no gana nada

Si algúna papeleta sale agraciada con los cuatro números 5675 por ejemplo, el vendedor tiene que pagar 900 euros, esto no tendría ningún problema si el boleto del vendedor fuera el 55675 pues en ese caso recibiría el premio mayor pero si sale premiado el 65675 por ejemplo, el vendedor cobra 200€ pero tiene que pagar 900 y ademas no veo por ningún lado que la probabilidad de acierto del poseedor de la papeleta de cuatro números suba a uno entre mil, según veo es de uno entre 10.000 y la tasa de pago es bajísima.

Se que ésto es en realidad un problema matemático y me vas a sorprender al final, por eso espero que ese final llegue pronto y antes que mis neuronas estallen (rayo, rayo)

En fin, esta es solo una de mis dudas, espero tu respuesta. (Carita triste)

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Re: Un problema matemático

Mensaje por Tanausú el Miér Oct 01, 2014 7:40 am

Siento no ir tan rápido como deseas pero los problemas matemáticos se tienen que abordar por pasos y estar seguros que cada uno de esos paso tiene una base sólida, eso es lo que aprendemos en las clases y te aseguro que tenemos un profesor muy tiquismiquis que no deja de atormentarnos sobre eso.

En primer lugar te has hecho un lio con lo de los boletos de lotería de 1.5 que hay que comprar para poder respaldar el pago a los acertantes de cuatro números de las papeletas de un euro.

Los boletos a comprar no tienen por qué ser 15 porque de esta forma invertiría 22.5 euros y sabemos que con la venta de los 15 boletos obtiene 15 euros, esto traiciona mi idea de que no se arriesga dinero sino que siempre se gana algo.

En este punto hay que echar mano de lo que te mencioné; usar el pensamiento lateral y dejar de lado los caminos trillados.

Otro punto sobre el que te confundes es sobre las 15 papeletas a vender, y aquí te aclaro otro dato que puede quitarte el sueño y agravar tus dudas; puede haber más de un acertante de papeletas y se puede dar el caso que tengas que pagar a dos, es decir, 1800 euros y tienes que gestionar para esa contingencia.

Debido a tu buena gestión, bueno, la gestión del vendedor, resultará en que la probabilidad final de acierto para un comprador de papeleta de cuatro números será de uno entre 1000.

Y por último, en esa gestión de compra de boletos de lotería tiene también que hacerse uso del pensamiento lateral aunque por supuesto están implicadas las mates.

Te dejo pensar un poco más y nos vemos pronto.

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Re: Un problema matemático

Mensaje por Tanausú el Miér Oct 01, 2014 10:01 am

Queridisimo sobrino, gracias por los nuevos datos, voy a olvidarme de lo que sé e intentaré mirar con otros ojos, pero me pierde eso de que dos compradores de papeletas pueden acertar a la vez, espero que la solución sea la prometida, si no, me echan los lobos en los foros (carita sonrrisa)

Tomate tu tiempo y preferiría oír la solución final cara a cara, así que estas invitado a comer, prepararemos ese pollo al ajillo que tanto te gusta y bizcocho de naranja, que conste que no lo hago por el interés (carita roja)

Abrazo.

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Re: Un problema matemático

Mensaje por Tanausú el Miér Oct 01, 2014 10:13 am

Hola tito, gracias, acepto la invitación.

He contado a mi profesor -el tiquismiquis- el problema matemático y me ha dado una nota de aprobado pero se ha dado cuenta de una posible pequeña trampa que introduje que no altera para nada el resultado que es correcto y practicable, solo era para ver si prestabas atención a todos los puntos (carita demonio)

Nos vemos.

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Re: Un problema matemático

Mensaje por AntonioJ el Miér Oct 01, 2014 4:01 pm

Ohhh no se vale... 

Publicaras la solución?... jeje

Como le dijiste a tu sobrino que te la diera cara a cara...  Crying or Very sad

Saludos.

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Re: Un problema matemático

Mensaje por Tanausú el Miér Oct 01, 2014 7:22 pm

@AntonioJ escribió:Ohhh no se vale... 

Publicaras la solución?... jeje

Como le dijiste a tu sobrino que te la diera cara a cara...  Crying or Very sad

Saludos.

Jajajaja por supuesto que lo haré en cuanto me lo explique, he ido posteando todo lo que hemos tratado referente al tema, ya sea lo que escribimos por whtasapp y en persona.

Saludos.

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Re: Un problema matemático

Mensaje por Tanausú el Miér Oct 01, 2014 7:37 pm

Un dato más antes de la comida.

Como ya sabes el vendedor tiene hacer 15 papeletas y venderlas con un valor de un euro y el dato nuevo es que todas las papeletas tienen el mismo número, por ejemplo; si decides que el número a sortear sea el 4389 las 15 papeletas tendrán ese número, esto es perfectamente posible, ningún comprador puede quejarse por eso siempre que se le pague en caso de acierto.

Abrazo

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Re: Un problema matemático

Mensaje por AntonioJ el Miér Oct 01, 2014 10:25 pm

Gracias Tanausú,

Estare al tango del tema, a ver como termina.

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Re: Un problema matemático

Mensaje por Tanausú el Miér Oct 01, 2014 10:57 pm

Estimado tío, lo del pollo al ajillo ha sido un acierto por tu parte, está riquísimo y seguro que la tarta lo estará más.

Bueno, ¿Has sacado algo en limpio de las pistas que te di? Porque la última no era una pista, era una autopista...


Pues no mucho, en realidad la última pista me rompió todo el esquema, ya sabes que me gustan las mates pero no puedo superarte.

En principio la idea de este problema me vino pensando en las diversas loterías donde un billete o número se vende en diez decimos aunque luego veras que la analogía con lo que tenemos entre manos es lejana.

Como te dije por whtasapp las quince papeletas tienen que tener un mismo número y esto tiene un porque.

Vamos a suponer que escogemos al azar uno cualquiera entre un universo de 0 a 9.999, el 9321 por ejemplo, el vendedor hace las 15 papeletas -luego veras porqué tienen que ser 15- y las vende a un euro cada...


Eso quiere decir Abel que si ese número sale premiado, el vendedor tendría que pagar 900 euros por cada papeleta y eso asciende a 13.500 si no me equivoco, ahora bien, si el vendedor compra un boleto de la lotería que tiene cinco números, por ejemplo el 59321 para que coincidan con los cuatro últimos. Si sale ese número premiado obtiene un premio de 35.000 euros, puede hacer frente a los pagos y le sobra dinero, pero si el premiado es el 49321 o comienza con los otros ocho números unidades de millar que no están en su boleto obtiene un premio de solo 200 euros y no hace falta decir que no tiene suficiente para pagar a sus clientes que en esos nueve posibles casos acertaron sus cuatro números.

Buena apreciación tito pero vamos a por el bizcocho y seguimos.

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Re: Un problema matemático

Mensaje por Tanausú el Miér Oct 01, 2014 11:47 pm

Bien, con lo que ya sabemos lo demás va a venir de corrido, el vendedor tiene que comprar los diez boletos de lotería siguientes:

Los siguientes números son hipotéticos, sirven cualesquiera otros siempre que sean diez seguidos con sus unidades de millar del 0 al 9

09321
19321
29321
39321
49321
59321
69321
79321
89321
99321

Cada boleto cuesta 1.5 Euros así que necesita 15 euros para comprarlos y los quince euros lo obtiene de la venta de las quince papeletas con cuatro numeros 9321 que vende.

De todo esto se obtienen muchas consecuencias y creo que ahora ya podrías decirme algunas de ellas.


Ahora lo veo Abel, lo primero que se me ocurre es que el vendedor en realidad lo que hace es gestionar una especie de juego comunitario donde cada comprador obtiene un premio mucho mayor por acertar cuatro números que si jugara directamente a la loteria, obviamente ningún comprador de los 15 boletos opta por un premio mayor como sí lo hace el vendedor pero es bastante justo ya que sólo pagan un euro y sus probabilidades se multiplican por diez porque se apoya en los diez boletos que guarda el vendedor.

No obstante veo un problema de logística y es cómo el vendedor puede conseguir diez boletos de loterías con diez números consecutivos y también tengo que pensar en cuales serían las ganancias posibles para el vendedor.

También me gustaría sobrino que me explicaras las probabilidades de este problema matemático.

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Re: Un problema matemático

Mensaje por Tanausú el Vie Oct 03, 2014 10:19 am

Bien, lo del problema logístico es superable, al menos en España pues hay una lotería en donde puedes pedir los números a voluntad, pero eso es irrelevante puesto que considero ésto sólo como juego matemático donde el placer está en considerar ideas nuevas y no como algo para llevar a la práctica.

Segundo; las probabilidades de ganar el premio mayor para el vendedor es de una a 10.000 ya que aunque el universo de esta lotería es de 100.000 posee diez boletos.

Tercero; las probabilidades de ganar su premio los compradores de las papeletas con cuatro numeros son de una a 10.000 también, lo que afirmé de que en este caso aumentaban a una entre 1.000 es algo tentador a afirmar por el hecho de haber diez boletos del vendedor respaldando su juego a cuatro números, pero eso no es correcto, es la pequeña falacia matemática que introduje y que mi profesor vio de inmediato.

La consecuencia de ganancia para el vendedor son las suguientes:

En cada juego tiene un premio seguro de 1.5€ por pedrea ya que posee los números del 0 al 9.

Tiene premio de 6×10=60€ cada vez que coinciden los dos últimos números.

Tiene premio de 20×10=200€ cada vez que coinciden los tres últimos números.

Tiene premio de 500€ cada vez que sale un número posterior o anterior de cada uno de los numeros de sus diez boletos.

Tiene premio de 35.000€ cada vez que acierta los cinco números de alguno de sus diez boletos de los cuales tiene que compartir 900 -o más si lo desea- con los 15 compradores de papeletas.

Con el premio mayor tiene un premio adicional de 200×9=1800€ por acierto de los últimos cuatro números en los nueve boletos adicionales.

Si tienes alguna duda me lo preguntas.

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Re: Un problema matemático

Mensaje por Tanausú el Vie Oct 03, 2014 4:26 pm

Parece que todo está claro Abel, no obstante ya que todo es un juego matemático, en vista que el vendedor quiere dar premios justos y no quiere abusar como la banca bien podría aumentar la cuantía de los premios a sus quince compradores de papeletas.

Como el premio total a percibir en caso de acierto es de 35.000+1.800=36.800 puede redondear la cifra y dar 1.000 euros a cada uno de los poseedores de una papeleta y él se queda con 21.800€

Por otro lado si se hace un sorteo diario que es mucho decir, se tardaría en completar un universo: 300 años pero como se juegan 10 números el tiempo se reduce a 30 años y hay que contar con la ley del tercio; puede que nuestros números nunca salgan en un universo o ciclo de 30 años, o sean de los que repiten y tengan una aparición temprana ¿9 años?

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Re: Un problema matemático

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